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Aerodynamische Kräfte und Momente

Auf den ersten Blick mag die Produktion der aerodynamischen Kräfte an einer Airbus A340 als sehr komplex erscheinen, besonders wenn man sich das dreidimensionale Strömungsfeld um Flügel, Rumpf, Triebwerke, Leitwerke etc. vor Augen hält. Trotzdem läßt sich in diesem, wie auch in allen anderen Fällen, die Erzeugung der aerodynamischen Kräfte und Momente auf zwei elementare Quellen zuellen zurückführen: Der einzige Mechanismus mit dem in der Natur eine Kraft auf einen umströmten Körper ausgeübt wird, besteht im Druck p und in der Scherspannung tex2html_wrap_inline12128 entlang der Oberfläche. Gemäß der Skizze in Bild 1.1 wirkt p normal zur Oberfläche und tex2html_wrap_inline12128 tangential zu ihr.

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Abbildung 1.1:  Druck und Scherspannung entlang einer aerodynamischen Oberfläche

 
 

Aus der Integration der Verteilungen von p und tex2html_wrap_inline12128 um den Körper, errechnet sich die resultierende aerodynamische Kraft tex2html_wrap_inline12138 und das resultierende Moment tex2html_wrap_inline12140 um den umströmten Körper. Die resultierende Kraft tex2html_wrap_inline12138 kann in Komponenten aufgeteilt werden, Bild 1.2.

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Abbildung 1.2:  Aerodynamische Kraft und Aufteilung in Komponenten

Im Bild 1.2 steht tex2html_wrap_inline12144 für die Anströmgeschwindig keit weit stromab des Körpers im Bereich der ungestörten Strömung. Definitionsgemäß gilt

 tex2html_wrap_inline12148 Auftrieb   tex2html_wrap_inline12148 Komponente von  R senkrecht zu tex2html_wrap_inline12144
 D tex2html_wrap_inline12148 Widerstand tex2html_wrap_inline12148 Komponente von R parallel zu tex2html_wrap_inline12144 .

Die Profilsehne c im Bild 1.2 entspricht der Länge der Strecke von der Vorder- zur Hinterkante des Körpers. Manchmal wird tex2html_wrap_inline12138 auch in Komponenten normal und tangential zu c aufgeteilt, Bild 1.2. Entsprechend gilt

 tex2html_wrap_inline12148 Normalkraft tex2html_wrap_inline12148 Komponente von  R senkrecht zu c
 A tex2html_wrap_inline12148 Axialkraft  tex2html_wrap_inline12148 Komponente von R parallel zu c .

Der Anstellwinkel tex2html_wrap_inline12184 is definiert als Winkel zwischen c und tex2html_wrap_inline12144 und folglich auch zwischen L und D sowie N und A. Die geometrische Beziehung zwischen den beiden Komponentenzerlegungen folgt aus Bild 1.2 zu
 

eqnarray62

Betrachten wir nun die Integration von p und tex2html_wrap_inline12128 zur Berechnung der aerodynamischen Kräfte etwas genauer. Bild 1.3 zeigt dazu einen zweidimensionalen Körper.

figure65
Abbildung 1.3:  Nomenklatur für Druck- und Scherspannungsintegration

Die Profilsehne ist in dieser Darstellung waagerecht gezeichnet, sodaß die An strömgeschwindigkeit mit der Horizontalen den Anstellwinkel tex2html_wrap_inline12184 einschließt. Ein xy - Koordinatensystem ist parallel bzw. senkrecht zur Profilsehne angeordnet. Die Entfernung eines beliebigen Punktes A auf der Oberseite des Körpers, gemessen vom Ursprung entlang der Oberfläche, wird mit tex2html_wrap_inline12208 bezeichnet; während für einen entsprechen Punkt B auf der Unterseite tex2html_wrap_inline12212 verwendet wird. Druck und Scherspannung auf der Oberseite tex2html_wrap_inline12214 bzw. tex2html_wrap_inline12216 sind dann Funktionen von tex2html_wrap_inline12208; entsprechend tex2html_wrap_inline12220tex2html_wrap_inline12222 Funktionen von tex2html_wrap_inline12212. An einem gegebenen Punkt wirkt der Druck senkrecht zur Oberfläche und relativ zur Senkrechten um den Winkel tex2html_wrap_inline12226 gedreht. Die Scherspannung tex2html_wrap_inline12128 wirkt tangential zur Oberfläche und ist zur Horizontalen um den gleichen Winkel tex2html_wrap_inline12226 gedreht. Wir können nun die zweidimensionale Geometrie als Querschnitt eines Zylinders mit Einheitsspannweite ansehen, Bild 1.4.

figure74
Abbildung 1.4:  Aerodynamische Kraft auf einem Element des Körpers

Ein Oberflächenelement dS mit dS = (ds) (1) ist in Bild 1.4 dargestellt. Wir interessieren uns für die Beiträge zur Normalkraft N' und zur Axialkraft A' infolge von Druck- und Scherspannung auf dem Oberflächenelement dS. ( ') steht dabei für Kraft pro Einheitsspannweite. Aus Bild 1.4 folgt dann
 

eqnarray82

Auf der Unterseite ergibt sich
 

eqnarray84

Die normale und axiale Gesamtkraft pro Einheitsspannweite erhalten wir durch Integration der Gleichungen (1.3) bis (1.6) von der Vorderkante (LE) zur Hinterkante (TE).

tex2html_wrap12322tex2html_wrap12324

Gesamtauftrieb und Widerstand ergeben sich durch Substitution der Gleichungen (1.7) in (1.1) sowie (1.2).

Das aerodynamische Moment, welches von der Strömung auf den Körper ausgeübt wird, hängt von der Wahl des Bezugpunktes ab. Betrachten wir zunächst Momente um den Vorderkantenpunkt . Momente werden als positiv definiert, wenn sie zu einer Vergrößerung des Anstellwinkels tex2html_wrap_inline12184 führen ( ßchwanzlastig positiv ''). Diese Konvention wird in Bild 1.5 illustriert.

figure102
Abbildung 1.5:  Vorzeichenkonvention für aerodynamische Momente

Wenn wir uns erneut auf das Bild 1.4 beziehen, so folgt das Moment pro Einheitsspannweite infolge von p und tex2html_wrap_inline12128 auf dem Flächenelement dS zu
 

eqnarray109

Wenn wir die Gleichungen (1.8) und (1.9) von der Vorder- bis zur Hinterkante integrieren, so erhalten wir das aerodynamische Moment um die Vorderkante pro Einheitsspannweite.

tex2html_wrap12330tex2html_wrap12332

tex2html_wrap_inline12252 und y sind bekannte Funktionen von s für einen gegebenen Körper. Daraus folgt, wenn tex2html_wrap_inline12258 und tex2html_wrap_inline12260 als Funktionen von s bekannt sind ( sei es durch Theorie oder Experiment ), können die Gleichungen ausgewertet werden. Damit ist das oben bereits erwähnte Prinzip, nämlich daß aerodynamischer Auftrieb, Widerstand und Moment eines Körpers einzig und allein aus der Integration des Druckes und der Scherspannungen entlang der Oberfläche resultieren nachgewiesen. Eine der Hauptaufgaben der theoretischen Aerodynamik ist die Berechnung der Funktionen p(s) und tex2html_wrap_inline12266 um dann die aerodynamischen Kräfte über die Gl. (1.7) sowie (1.10) zu ermitteln.

Im Verlauf unserer Betrachtungen der Aerodynamik werden wir sehen, daß es noch fundamentalere Größen als die aerodynamischen Kräfte und Momente selbst gibt. Dieses sind die dimensionslosen Kraft- und Momentenbeiwerte , die im folgenden definiert werden sollen. Wenn wir die Dichte und die Geschwindigkeit im ungestörten Fernfeld mittex2html_wrap_inline12144 und tex2html_wrap_inline12270 bezeichnen, können wir den dynamischen Druck der freien Anströmung definieren als
 

eqnarray130

Der dynamische Druck hat die Dimensionen des Drucks und zwar Newton pro Quadratmeter. Zusätzlich wollen wir S als eine Referenzfläche und l als eine Referenzlänge auffassen. Damit können die dimensionslosen Kraft- und Momentenbeiwerte definiert werden:
 

eqnarray137

Bezugsfläche S und -länge l werden dabei so gewählt, daß sie eine charakteristische geometrische Größe des Problems darstellen und sind nicht etwa für alle Fälle gleich. So wird z.B. für einen Flugzeug-Tragflügel S aus der Flügelgrundfläche und l aus einer gemittelten Flügeltiefe bestimmt. Bei einer Kugel entsprechen S und l dagegen der Querschnittsfläche bzw. dem Durchmesser. Die Bezeichnungen der aerodynamischen Beiwerte mit Großbuchstaben tex2html_wrap_inline12286 und tex2html_wrap_inline12288 stehen definitionsgemäß für die Kräfte und Momente eines dreidimensionalen Körpers wie z.B. eines gesamten Flugzeuges oder eines Flügels. Im Gegensatz dazu sind die Kräfte und Momente eines zweidimensionalen Körpers auf dessen Einheitsspannweite bezogen. Für diese zweidimensionalen Körper ist es üblich Kleinbuchstaben und als Referenzfläche S=c(1)=c zu verwenden.
 

eqnarray155

Zwei zusätzliche dimensionslose Größen sind der Druckbeiwert tex2html_wrap_inline12292 und der Reibungsbeiwert tex2html_wrap_inline12294tex2html_wrap_inline12296 steht hier für den Druck in der ungestörten Anströmung.

Besonders geeignet sind die Gl. (1.7) und (1.10) wenn wir die dimensionslosen Beiwerte einsetzen und zusätzlich noch die geometrischen Beziehungen aus Bild 1.6 ausnutzen.

figure171
Abbildung 1.6:  Geometrische Beziehungen am Körper
 

eqnarray177

Durch Substitution der Gl. (1.11) und (1.12) in Gl. (1.7) und (1.10) und Division durch tex2html_wrap_inline12298 und S ( in der Form c(1) ) ergeben sich dann folgende integrale Beziehungen für die Kraft- und Momentenbeiwerte:

tex2html_wrap12338tex2html_wrap12340

Bei der Auswertung der Integrale müssen wir beachten, daß das Vorzeichen von dy an die Steigung der Körperkontur gekoppelt ist, d.h. bei aufwärtsgerichteter Kontur ist dy positiv und bei abwärtsgerichteter negativ.

Die Auftriebs- und Widerstandsbeiwerte erhalten wir aus Gl. (1.1) und (1.2) zu
 

eqnarray225

An dieser Stelle soll noch einmal betont werden, daß mit den Beziehungen (1.14) bis (1.16) die aerodynamischen Kraft- und Momentenbeiwerte aus den Verteilungen des Drucks sowie der Scherspannung auf der Oberfläche des Körpers gewonnen werden können. Das ist eine übliche und sehr oft verwendete Methode im Experiment und auch bei theoretischen Strömungssimulationen. Obwohl die Herleitung an dieser Stelle nur für zweidimensionale Fälle präsentiert wurde, führen ähnliche Betrachtungen zu analogen Beziehungen für komplette dreidimensionale Körper.


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Sun Dec 15 23:00:07 MEZ 1996