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Inkompressible Strömung über eine ebene Platte

Wir betrachten also eine inkompressible, zweidimensionale Strömung über eine ebene Platte bei tex2html_wrap_inline16596 Anstellwinkel, Bild 8.16. Für eine solche Strömung ist tex2html_wrap_inline16598 und tex2html_wrap_inline16600 ( Da der Druck bei einer reibungsfreien Strömung über eine ebene Platte konstant ist ). Außerdem haben wir bereits in den Kapiteln über inkompressible Strömungen gesehen, daß die Energiegleichung identisch erfüllt ist und nicht weiter betrachtet werden muß. Die Grenzschichtgleichungen reduzieren sich damit zu


eqnarray9140

wobei tex2html_wrap_inline16602 für die kinematische Zähigkeit steht, die definiert ist als tex2html_wrap_inline16604. Wir wenden nun eine Technik an, die bei verschiedenen Grenzschichtlösungen eingesetzt wird und transformieren die Koordinaten (x,y) zu tex2html_wrap_inline14618 gemäß der Vorschrift


equation9156

Mit der Kettenregel folgt


eqnarray9162

Und unter Berücksichtigung der Transformation in Gl. (8.63) erhalten wir


equation9184

( Den Term tex2html_wrap_inline16610 brauchen wir nicht genauer zu untersuchen, da er aus den Grenzschichtgleichungen herausfällt ). Wir verwenden nun Gl. (8.66) in Gl. (8.64) und Gl. (8.65) und erhalten


eqnarray9196

Weiterhin soll eine Stromfunktion tex2html_wrap_inline12716 definiert werden als


equation9218

Dieser Ausdruck für tex2html_wrap_inline12716 erfüllt die Kontinuitätsgleichung, Gl. (8.60), identisch. Mit der Definition der Stromfunktion und unter Verwendung der Gl. (8.67), Gl. (8.68) und Gl. (8.70) erhalten wir


equation9221


equation9230

Gl. (8.71) ist von besonderer Bedeutung. Die Funktion tex2html_wrap_inline16616, definiert in Gl. (8.70) hat die Eigenschaft, daß ihre Ableitung f' die x-Komponente der Geschwindigkeit liefert


equation9248

Nun setzen wir Gl. (8.67) bis Gl. (8.69), Gl. (8.71) und Gl. (8.72) in die Impulsgleichung Gl. (8.61) ein. Wir schreiben jeden Term explizit aus, damit man deutlich sehen kann was passiert.


equation9252

Nach Vereinfachung


equation9271

Der erste und der dritte Term heben sich heraus, sodaß wir schließlich erhalten:

tex2html_wrap16684 tex2html_wrap16686

Gl. (8.76) ist wichtig. Sie wird als Blasius-Gleichung bezeichnet, nach dem gleichnamigen H. Blasius, der sie 1908 in seiner Dissertation herleitete. Gl. (8.76) ist eine gewöhnliche Differentialgleichung. Wegen der Beziehung tex2html_wrap_inline16622 ist Gl. (8.76) eine Gleichung für u. Sie ist bedeutend einfacher zu lösen als die allgemeinen Grenzschichtgleichungen. Aufgrund ihrer Nichtlinearität, sind jedoch immer noch numerische Lösungsmethoden erforderlich. Die transformierten Randbedingungen lauten


eqnarray9296

Im Bild 8.17 ist die Lösung von Gl. (8.76) in der Form tex2html_wrap_inline16626 als Funktion von tex2html_wrap_inline16628 dargestellt. Wir sollten dabei beachten, daß die Kurve dem Geschwindigkeitsprofil entpricht und, daß dies ausschließlich eine Funktion von tex2html_wrap_inline16628 ist. Darüber sollten wir noch etwas nachdenken. Wenn wir uns zwei unterschiedliche x-Stationen vorstellen, Bild 8.18, so sind die Geschwindigkeitsprofile u = u(x,y) im allg. an den beiden Stationen unterschiedlich.

 figure9310
Abbildung 8.17:   Inkompressibles Geschwindigkeitsprofil an der ebenen Platte, Blasius Lösung.

 figure9316
Abbildung 8.18:   Geschwindigkeitsprofile im physikalischen und transformierten Raum.

Wenn wir aber die Geschwindigkeitsprofile als Funktion von tex2html_wrap_inline16628 plotten, so stellen wir fest, daß die Profile für alle x-Stationen gleich sind. Man spricht bei diesem Phänomen von ähnlichen Lösungen. Ähnliche Lösungen treten nur bei ganz speziellen Strömungsfällen auf. Die Strömung über eine ebene Platte ist eine von ihnen. Zahlenwerte für f,f' und f'' können in verschiedenen Veröffentlichungen als Funktion von tex2html_wrap_inline16628 nachgeschlagen werden. Von besonderer Bedeutung ist dabei der Wert von f'' an der Wand, f''(0) = 0.332. Der lokale Schubspannungsbeiwert ist definiert als tex2html_wrap_inline16650. In Gl. (8.4) wurde die Schubspannung an der Wand ausgedrückt durch


equation9329

Aus Gl. (8.68) und Gl. (8.71) wissen wir allerdings, daß


equation9335

Eine Auswertung von Gl. (8.78) an der Wand, wo tex2html_wrap_inline16652 ist, liefert


equation9350

Und aus einer Kombination von Gl. (8.77) mit Gl. (8.79) folgt


eqnarray9358

Hierbei steht tex2html_wrap_inline16654 für die lokale Reynoldszahl. Da f''(0) = 0.332 als Ergebnis aus der numerischen Lösung der Blasius Gleichung resultiert, erhalten wir dann für den Schubspannungsbeiwert

tex2html_wrap16696 tex2html_wrap16698

Die Gültigkeit dieser Beziehung wurde durch eine Reihe von Experimenten verifiziert. Mit diesem Ausdruck für tex2html_wrap_inline16658 gelingt uns z.B. auch die Bestimmung der gesamten Reibungskraft auf die ebenen Platte von Bild 8.16. Und zwar brauchen wir nur die lokalen Reibungsbeiwerte über die Tiefe der Platte von x=0 bis x=c zu integrieren. tex2html_wrap_inline16664 sei der Reibungsbeiwert der gesamten Platte. Dann gilt


equation9385

Und nach Substitution von Gl. (8.81) liefert das


equation9389

oder

tex2html_wrap16700 tex2html_wrap16702

Im Bild 8.17 wird deutlich, daß bei tex2html_wrap_inline16666, f' = 0.99 ist. Wir hatten bereits zuvor die Grenzschichtdicke als den Abstand definiert, bei dem tex2html_wrap_inline16398 gilt. Das liefert einen Ausdruck für die Grenzschichtdicke


eqnarray9412

oder

tex2html_wrap16704 tex2html_wrap16706

Bei diesem Ergebnis ist zu beachten, daß die Grenzschichtdicke bei inkompressibler, laminarer Strömung über eine eben Platte invers proportional zu tex2html_wrap_inline16672 ist. D.h. inkompressible, laminare Grenzschichten wachsen parabolisch mit der Entfernung von der Vorderkante.

Die Verdrängungsdicke, die wir in Gl. (8.42) definiert haben, wird für eine inkompressible Strömung berechnet über


equation9428

Ausgedrückt durch die transformierten Variablen f' und tex2html_wrap_inline16628 wird aus dem Integral in Gl. (8.86)


equation9433

wobei tex2html_wrap_inline16678 einen beliebigen Punkt oberhalb der Grenzschicht beschreibt. Die numerische Lösung von Gl. (8.76) zeigt erstaunlicherweise, daß tex2html_wrap_inline16680 für alle tex2html_wrap_inline16628 über 5.0. D.h. aus Gl. (8.87) folgt


equation9441

oder

tex2html_wrap16708 tex2html_wrap16710

Zu beachten ist dabei, daß die Verdrängungsdicke genau wie die Grenzschichtdicke selbst, umgekehrt proportional zur Wurzel aus der Reynoldszahl ist. Ein Vergleich von Gl. (8.85) mit Gl. (8.89) zeigt ferner, daß gilt


equation9455

Für die Impulsverlustdicke ergibt sich nach ähnlicher Vorgehensweise

tex2html_wrap16712 tex2html_wrap16714


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Sun Dec 15 23:00:07 MEZ 1996